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Nota de Microperso : Cette page est issue du site de René ALBERT, lorsqu'il était accessible sur sa page personnelle "Orange", et je la reprends à mon compte car elle est synthétique pour les bridgeurs !!!!

PROBABILITES

Notations

  • le signe de la multiplication est noté : *
  • la factorielle de x (soit 1*2*3*......*x) est notée en abrégé : x !
  • le nombre de combinaisons de a objets choisis parmi r objets tous différents, soit (r! * (r-a)! / a!) , est noté en abrégé : C[a;r]

Définition de la probabilité

Une probabilité  est définie simplement par le rapport :  nombre de cas favorables / nb total de cas possibles.
Par exemple la probabilité de tirer un trèfle dans un jeu de 52 cartes = 13/52 = 1/4 = 0,25
Cette définition suppose que les cas possibles sont indépendants les uns des autres.
Par définition, une probabilité vaut donc 1 au maximum (on peut aussi l'exprimer en % en multipliant sa valeur par 100).

 

Probabilités composées

Soient p1 et p2 les probabilités  d'apparition d'évènements  E1 et E2, la probabilité d'apparition  de E1  ET E2 est égale au produit de leur  probabilités : p (E1 et E2) = p1*p2
Ex : prenons 2 jeux  de 52 cartes et tirons une carte dans chacun d'eux.
La probabilité de sortir 1 trèfle du premier paquet  ET  1 coeur du deuxième  est égale à  (1/4)*(1/4) = 1/16 = 0,0625

 

Addition de probabilités

Calculons maintenant la probabilité d'obtenir 1 carte à trèfle et 1 carte à coeur à partir du tirage d'une carte dans chacun de nos 2 jeux, sans distinction de provenance.
Cette combinaison peut résulter de 2 tirages distincts : ( trèfle ET coeur)  OU  (coeur ET trèfle).
La probabilité cherchée est  donc égale à la somme des 2 probabilités : p = (1/16) + (1/16) = 0,125
Attention : on ne peut combiner que des probabilités d'évènements indépendants.

 

Probabilités "a posteriori"

Supposons qu'un évènement E2 ne puisse se produire que si un évènement E1 s'est produit préalablement.
Si p1 est la probabilité de E1, et  p2 celle de E2 une fois E1 survenu :
- p2 est la probabilité "a posteriori" de E2
- mais la probabilité "a priori" P2 de E2 est : P2 =  p1* p2

 

Théorème de Bayes

Supposons maintenant qu'un évènement E  puisse résulter de plusieurs causes C1, C2, ...Cn, de probabilités initiales p1, p2, ..., pn.
Soient  w1, w2, ..., wn  les probabilités respectives qu'ont C1, C2 ..., Cn respectivement  de produire E.
Une fois que E s'est produit, la probabilité "a posteriori" que sa cause soit Cx est donnée par le quotient :
Px = (px * wx) / [(p1*w1) + (p2*w2) + ... +  (px*wx)  + ... + ( pn*wn)]

 

Applications

 

Types de distribution

Vous vous étonnez parfois des distributions rencontrées dans certains simultanés en donnes aléatoires : rassurez-vous, il n'y a pas malice, et les distributions excentrées sont statistiquement plus fréquentes que l'on croit.
 

Cliquez ici pour consulter le tableau donnant les probabilités "a priori" d'apparition de telle distribution dans une main désignée.

 

Répartition des résidus entre 2 mains cachées

Mon camp (soit 26 cartes connues) totalisant   x cartes dans une couleur, le résidu de cette couleur dans le camp adverse (r = 13 - x) sera réparti  à raison de a cartes dans une main adverse et b cartes dans l'autre main, avec a + b = r
On se propose de calculer la probabilité "a priori" p[a;b] d'avoir une répartition [a;b].
Nb de distributions adverses possibles :
N = C[13;26]
Nb de distributions adverses possibles avec a cartes dans une main déterminée :
n = C[(13-a) ; (26-r)]  * C[a,r]
Et donc : p(a,b) = n/N

Cliquez ici pour consulter le tableau des probabilités de répartition  des résidus entre  deux mains cachées.

 

Répartition "a priori" des cartes en face d'un unicolore ou d'un bicolore

Cliquez ici pour consulter les tableaux des probabilité de fit correspondantes

 

Maniements de couleurs à  9 cartes

Impasse ou non ?
On supposera dans ces exemples qu'il n'y a pas de problème de communication ou d'adversaire dangereux.

  • il manque un honneur :
                         x (?)
    A V x x x                 R x x x

                        x x (?)


    On tire le Roi, les adversaires fournissent chacun une petite carte.
    Puis on part  petit vers As-Valet, et Sud fournit encore petit.
    Ceci ne peut provenir que de 2 causes :
    • D x  en Nord   (3 permutations,  puisqu'il y a 3 petites cartes possibles),
    • x " sec"  en Nord  (3 permutations  idem).

    L'utilisation du tableau des résidus et du théorème de Bayes donne pour la probabilité de capture du valet :
    • jeu en-tête :       (6,782*3)  / [ (6,782*3) + (6,217*3)]  = 52,17 %    (léger avantage)
    • impasse (passer le Valet) :      (6,217*3)/  [(6,782*3) + (6,217*3)] = 47,83 %
    On peut vérifier que cette conclusion est générale quel que soit le résidu.
     
  • il manque 2 honneurs équivalents :
                             (D ou V)
        A 10 x x x                     R 9 x x
                                  x

    On joue le Roi, Sud fournit petit, et un des 2 honneurs "équivalents" (D ou V) apparait en Nord.
    On repart petit vers As-10, et Sud fournit encore petit.
    Ceci ne peut provenir que de 3 causes: Dame sèche, ou Valet  sec,  ou  DV secs en Nord (une seule permutation chaque fois).
    L'utilisation du tableau des résidus et du théorème de Bayes donne pour la probabilité de capture de l'honneur restant  :
    • jeu en-tête :                                     6,782 / [(2*6,217) + 6,782] =  35, 30 %
    • impasse (passer le 10) :       (2*6,217) / [(2*6,217) + 6,782] = 64, 70 %   (net avantage)
                                                  
  • Il manque 1 honneur :
                               ?
         A D V x x             x x x x 
                               x

    On joue petit vers As-Dame, et Sud fournit petit.
    Les cas   x  et  x x    en Sud  produisent cela, mais sont sans intérêt car le Roi est alors imprenable.
    La comparaison entre jeu en tête et impasse ne concerne donc  que les cas  x  x  x   (une seule permutation),  x  (3 permutations)  et  R  x  x  (3 permutations) en Sud.
    L'utilisation du tableau des résidus et du théorème de Bayes donne pour la probabilité de capture de l'honneur restant :
    • jeu  en-tête :                  6,217 / [ 6,217 + (3*(6,782 + 6,217))]  = 13, 75 %
    • impasse :       3*(6,782 + 6,217) / [6,217 + (3*(6,782 +6,217))] = 86, 25 % (avantage incontestable)

    Nota : ce résultat " a posteriori" ne doit pas être confondu  avec la probabilité "a priori"que le Roi soit en Sud  (50%).

 

***************

Tout ceci n'est qu'un aperçu de ce que l'on peut tirer du calcul des probabilités appliqué au bridge, et mon espoir sera de vous avoir donné l'envie de vous lancer à votre tour dans d'autres analyses ....

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Probabilités des "résidus" entre 2 mains cachées

Sans information sur les jeux adverses

r a b p[a,b] en (%) C[r,a] p[a,b]/C[r,a] en % p[a,b] + p[b,a] en %
2 1 1 52, 000000 2 26, 000000 52, 000000
2 0 24, 000000 1 24, 000000 48, 000000
0 2 24, 000000 1 24, 000000
3 1 2 39, 000000 3 13, 000000 78, 000000
2 1 39, 000000 3 13, 000000
3 0 11, 000000 1 11, 000000 22, 000000
0 3 11, 000000 1 11, 000000
4 1 3 24, 869565 4 6, 2173913 49, 739130
3 1 24, 869565 4 6, 2173913
2 2 40, 695652 6 6, 7826086 40, 695652
4 0 4, 7826086 1 4, 7826086 9, 5652173
0 4 4, 7826086 1 4, 7826086
5 2 3 33, 913043 10 3, 3913043 67, 826086
3 2 33, 913043 10 3, 3913043
1 4 14, 130434 5 2, 8260868 28, 260868
4 1 14, 130434 5 2, 8260868
5 0 1, 9565217 1 1, 9565217 3, 9130434
0 5 1, 9565217 1 1, 9565217
6 2 4 24, 223602 15 1, 6149068 48, 447204
4 2 24, 223602 15 1, 6149068
3 3 35, 527948 20 1, 7763974 35, 527948
5 1 7, 2670800 6 1, 2111800 14, 534160
1 5 7, 2670800 6 1, 2111800
6 0 0, 7453400 1 0, 7453400 1, 4906800
0 6 0, 7453400 1 0, 7453400
7 3 4 31, 086956 35 0, 8881980 62, 173912
4 3 31, 086956 35 0, 8881980
5 2 15, 260869 21 1, 4534160 30, 521738
2 5 15, 260869 21 1, 4534160
6 1 3, 3913043 7 0, 4844720 6, 7826086
1 6 3, 3913043 7 0, 4844720
7 0 0, 2608695 1 0,2608695 0, 5217390
0 7 0,2608695 1 0, 2608695
8 3 5 23, 560640 56 0, 4207257 47,12128
5 3 23, 560640 56 0, 4207257
4 4 32, 723111 70 0, 467473 32, 723111
2 8, 5675052 28 0, 3059823 <17,13501
6 2 8, 5675052 28 0, 3059823
1 7 1, 4279176 8> 0, 1784897 2, 8558352
7 1 1, 4279176 8 0, 1784897
0 8 0, 0823798 1 0,0823798 0, 1647596
8 0 0, 0823798 1 0,0823798


Remarques importantes :

  • résidus pairs  (2n)  :  pour n>1 ,  la répartition la plus probable est [ (n+1), (n-1)]
  • résidus impairs  (2n + 1)  :  la répartition la plus probable est  [(n+1), n]
     

Par contre, pour un résidu de cartes spécifiées, la probabilité  maximum correspond à la répartition la plus régulière :
(D V  <===> 5 2)  est plus probable que (D V 5  <===> 2 ).

On notera également  que la répartition [5, 3] du résidu r = 8  ayant  une probabilité supérieure à celle de la [4, 4]  (soit  47% contre 33%), il a été logique de préférer finalement  la "Majeure 5ème" à la "Longue d'abord".
 

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Les chances de fit

  • Dans un unicolore :

    Le tableau suivant donne les probabilités "a priori" p % (avant toute enchère) de fit dans une couleur, en fonction du nombre de cartes N que l'on y détient.
     


    N

    Probabilité  p % pour que mon camp y totalise totalise :
     

    Prenons l'exemple 
    N = 4

     La probabilité de totaliser au moins 8 cartes sera la somme des
    probabilités élémentaires  p4 à p9
    pour que le partenaire ait exactement  4, 5, 6, 7, 8 et 9  cartes dans cette couleur.

    Remarque : dans cet exemple il sera plus simple de calculer
    100 - [ p0 + p1+ p2 + p3]

     ex :  probabilité élémentaire (exactement 3 cartes chez le partenaire ) :
     p3 = C[3;9] * C[10;30] / C[13;39] = 31, 0718 %

    Et de même :
     p2 = 24, 2118 %     p1 =  9, 5838 %      p0 =1, 4744 %

    Et on vérifie bien que :
    100 - (31,0718+24,2118+9,5838+1,4744) = 33, 6582

     
    8 cartes et + 9 cartes et +
    4 33,7 11,5
    5 54,4 23,8
    6 76,3 42,9
    7 92,9 66,7

    Moralité : il ne faut pas craindre d'utiliser les barrages (mais avec une bonne couleur, bien entendu, et en tenant compte des vulnérabilités respectives ...).

     
  • Dans un bicolore :

    Le tableau suivant donne les probabilités "a priori" (avant toute enchère) p% de fit dans une des couleurs d'un bicolore ou d'un tricolore, ainsi que celle d'un double fit.

Bicolore en main
Mon camp totalisera, avec une probabilité
p%

 
8 cartes ou + dans au moins une des 2 couleurs 9 cartes ou + dans au moins une des 2 couleurs 8 cartes ou +
dans chacune
 des 2 couleurs
4-4-3-2 60, 3 22, 6 7
5-4-3-1  ou  5-4-2-2 74, 2 34, 2 13, 9
5-5-2-1  ou  5-5-3-0 83, 5 44, 5 25, 2
6-4-2-1 ou  6-4-3-0 87 4 51, 6 22, 5
6-5-1-1  ou  6-5-2-0 92,2 59, 7 38, 5
7-4-1-1  ou  7-4-2-0 96,5 72, 5 30, 1
Tricolore en main 8 cartes et + dans au moins une des 3 couleurs 9 cartes et + dans au moins une des 3 couleurs 8 cartes et + dans au moins 2 des 3 couleurs
4-4-4-1 80, 3 33, 4 20, 3
5-4-4-0 88, 3 44, 3 32

Exemple de calculs :

Avec un bicolore 5-5 en main, nous calculerons d'abord les dénombrements élémentaires des mains excluant tout fit de 3 cartes et plus, à savoir :

 
                                                   p[2; 2; 9 (*) ]                                          =        C[2; 8]*C[2; 8]*C[9; 23]
                                                   p[2; 1; 10  (*)]  plus  p[1; 2; 10 (*)]    =        2*C[2; 8]*C[1; 8]*C[10; 23]
                                                   p[2; 0; 11 (*)]  plus  p[0; 2; 11 (*)]     =        2*C[2; 8]*C[11; 23]
                                                   p[1; 1; 11(*)]                                          =        C[1; 8]*C[1; 8]*C[11; 23]
                                                   p[1; 0; 12 (*)]  plus  p[0; 1; 12 (*)]     =        2*C[1; 8]*C[12; 23]
                                                   p[0; 0; 13 (*)]                                         =        C[12; 23]

(*)   9, 10,11, 12, 13  : résidus non-différenciés

La somme de ces dénombrements, divisée par le nombre de cas possibles C[13; 39]
donne la probabilité de l'absence de fit au moins 3ème dans chacune des 2 couleurs,
soit 0,1645567, et son  complément à 1  donne la probabilité recherchée, soit 0,8354433.

 

Ce tableau montre tout l'intérêt des systèmes et gadgets visant à décrire les bicolores, vu les probabilités élevées de fit qu'ils recèlent.
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Lors de mes contacts réguliers avec les joueurs de tous les niveaux qui peuplent les clubs de Bridge, je suis toujours médusé face aux contre vérités qui sont assénées, avec force et conviction, par des joueurs dont le passé universitaire est bien plus copieux que le mien, mais qui ont totalement oublié leurs formations de base en Calcul des Probabilités une science des paradoxes pour le commun des mortels

Pour moi qui possède un long passé d'autodidacte, faute de la possibilité d'études scolaires dans mon adolescence, je me reporte très souvent à mes études volontaristes ultérieures pour consolider mon raisonnement au bridge, en ne me limitant pas aux recettes toutes faites. Il est souvent nécessaire que je revalide les justifications d'une règle pour que je puisse l'utiliser ensuite en toute confiance!

C'est pour cette raison que je suis enthousiaste face au travail Statistique remarquable de Bernard CHARLES et Jérôme GIGAULT qu'ils ont réalisé en 2006 à la demande de la F.F.B pour consolider les choix des conventions définies depuis des années dans le S.E.F

Je propose sur ce site mon tableau personnel de synthèse pour ceux qui me croiront sur parole, pour les autres ils se reporteront au document officiel des auteurs qui est à mon avis totalement rigoureux et mathématiquement incontestable.

Le document complet des auteurs est disponible ici : http://www.bridge-gr-expert-ia.fr/index.php/category/1-documents-du-web

Dans le domaine du Bridge des bétises nombreuses ont été dites et écrites avant que Kolmogorov. développe sa théorie mathématique aujourd'hui incontestée l'article qui lance le débat historique contre BOREL est ici : Les Probabilités génèrent des conflits

Définitions  de Wikipédia

Probabilités (mathématiques élémentaires)

Page Originale : https://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9s_(math%C3%A9matiques_%C3%A9l%C3%A9mentaires)

Les probabilités sont la branche des mathématiques qui calcule la probabilité d'un événement, c'est-à-dire la fréquence d'un événement par rapport à l'ensemble des cas possibles.

Cette branche des mathématiques est née des jeux du hasard, plus précisément du désir de prévoir l'imprévisible ou de quantifier l'incertain. Il faut avant tout préciser ce qu'elle n'est pas : elle ne permet pas de prédire le résultat d'une unique expérience.

Statistique (indicateur)

Page Originale : https://fr.wikipedia.org/wiki/Statistique

Une statistique est, au premier abord, le résultat d'une suite d'opérations appliquées à un ensemble de nombres appelé échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de données. Dans le calcul de la moyenne arithmétique, par exemple, l'algorithme consiste à calculer la somme de toutes les valeurs des données et à diviser par le nombre de données. La moyenne est ainsi une statistique. Pour être complet dans la description de l'utilisation d'une statistique, il faut décrire à la fois la procédure et l'ensemble de données.

De façon formelle bien que cela soit rarement utilisé une statistique est une variable aléatoire d'un type particulier. C'est en effet une fonction d'un vecteur composée de plusieurs observations d'une loi. Cela permet entre autres d'étendre aux statistiques un certain nombre de résultats sur les variables aléatoires entre autres le caractère indépendant de deux statistiques ou calculer des densités de statistiques.

Parmi les statistiques un certain nombre ont des propriétés particulières qui servent entre autres en inférence statistique pour l'estimation statistique. Les estimateurs servent, comme leur nom l'indique, à estimer des paramètres statistiques. L'optimisation de ces estimateurs peut également faire intervenir des statistiques auxiliaires vérifiant certaines propriétés et qui permettent de faire converger plus vite ces estimateurs.

Pour ceux qui veulent aller plus loin.................

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Voici l'introduction de SERGE de son etude sur les probabilités historiques appliquées au jeu de bridge; je la fais mienne car, après une lecture assidue de son copieux document, je n'y ai trouvé que des vérités mathématiques et logiques, à vous de juger...........................

Son document complet esr à télécharger ICI

La grande guerre des initialistes, des boréliens et des distributionnistes.

Le bridge est un jeu entièrement fondé sur les probabilités.
ll n'est pas une enchère, pas un jeu de la carte qui n'exige la caution des probabilités pour être approuvé par la communauté des bridgeurs et mériter le label de "bonne enchère" ou "bonne ligne de jeu".


Les livres et les logiciels de bridge sont souvent truffés de références aux probabilités.
Certains, même, comme le livre de Roudinesco sur "les maniements de couleur " ou le logiciel "Suitplay" de Jeroen Warmerdam, qui poursuit le même but, sont exclusivement basés sur les probabilités.
Beaucoup d'ouvrages, donc, parlent de probabilités ou y font référence lorsque l'occasion se présente, mais on doit, malgré cela, déplorer que certains auteurs bâtissent encore des systèmes entiers (parfois d'une rugueuse complexité) ou promeuvent des conventions, sans dire en quoi les probabilités en justifient la pertinence.
Le bridgeur, lui, heureusement, n'a pas besoin d'avoir une licence de mathématiques en poche pour se livrer aux joies de son jeu favori. Il lui suffit d'un peu de logique et d'un peu de technique déclinée sous la forme de quelques préceptes élémentaires comme
? "il faut préférer une impasse au roi ou à la dame à un partage 3-3, par contre un partage 3-2 ou 4-3 est de meilleure probabilité qu'une impasse" ,
?"lorsqu'on a 9 cartes entre les deux mains et qu'il nous manque la dame pour faire toutes les levées, la règle des 9 préconise qu'on tire AR en tête sans faire l'impasse",
?"lorsqu'il ne nous manque que le roi d'une couleur dans laquelle on doit faire toutes les levées, il faut toujours faire l'impasse sauf si l'on a 11 cartes de la couleur entre les deux mains",
?"un contrat dont la réussite nécessite le bon placement d'une carte sur deux est un excellent contrat",
?"une manoeuvre exigeant le bon placement de deux cartes pour réussir est inférieure à une manoeuvre se contentant du bon placement d'une carte",
?"le compte des points adverses peut parfois nous imposer un maniement contraire à l'usage",
etc ….
Mais, évidemment, la diversité des situations au bridge est tellement grande, qu'un jour ou l'autre on a besoin de l'arbitrage des mathématiques (et parfois de l'informatique) pour résoudre des problèmes relativement rares dont on ne trouve pas la solution sous les sabots d'un cheval.
Lorsque c'est le cas, on se heurte à un autre problème. Si les références aux probabilités ou les résultats qui les utilisent noircissent les pages de nombreux ouvrages, il est très rare que l'on trouve un bouquin expliquant le mécanisme des calculs qui ont conduit à publier ces chiffres.
Or, de tels ouvrages sont indispensables, d'une part pour résoudre les problèmes qui n'ont fait l'objet d'aucune publication, d'autre part pour vérifier l'adéquation des procédés de calcul utilisés aux règles des mathématiques.
En France, le seul ouvrage faisant référence, dans ce domaine, est "Théorie mathématique du bridge à la portée de tous" de Borel et Chéron (1949). (Borel est un mathématicien de stature mondiale). Mais plusieurs auteurs, dont Roudinesco dans la préface de sa traduction de "Testez votre bridge: Les probabilités, La lecture des mains" de Hugh Kelsey, ont abordé le sujet de façon plus ou moins didactique. Dans le monde anglo-saxon, Térence Reese et d'autres ont contribué à populariser, semble – t – il les idées de Borel (restricted choice) ou de Vernes (levées totales) mais je ne suis pas expert en paternité et je ne saurais dire quelle est la source exacte des théories actuelles, dont d'ailleurs les auteurs, ne suivent pas toujours à la lettre les recommandations de leurs glorieux précurseurs.
Ce qui découle de mon étude, c'est qu'aujourd'hui, en ce qui concerne la théorie mathématique du bridge, les bridgeurs sont globalement "fournituristes". (On verra dans ce qui suit ce qui caractérise cette ethnie). Mais parmi les fournituristes, il y a deux tribus qui en matière de probabilités ne parlent pas le même langage: les "boréliens" (essentiellement franchouillards et qui, comme leur nom l'indique, sont les héritiers du grand Borel) et les "initialistes", une branche d'origine anglo – saxonne qui est devenue largement majoritaire et a contaminé la planète entière.
A côté des "fournituristes" il y a les "distributionnistes", dont l'univers probabiliste est à celui des fournituristes ce que l'antimatière est à la matière, et qui de ce fait font figure d'extraterrestres sur la planète bridge. D'autant que leurs théories n'ont pas encore franchi les limites de mon cerveau et que j'en suis l'unique représentant connu de moi.
Qu'on me permette donc, dans cet ouvrage, de présenter les 3 théories concurrentes qui toutes aspirent au calcul de la "bonne probabilité". Et qu'on me permette aussi de soumettre ces théories à divers tests de nature mathématique qui permettront de contrôler la pertinence et la justesse des procédés étudiés.

Avant de lire ce document très précis et dense, je vous propose de lire ici une présentation très pédagogique de la théorie mathématique de KOLMAGOROV, qui date du siècle dernier et que plus personne ne conteste aujourd'hui !!!!

Cette introduction est celle de René ALBERT (il proposait son site WEB, ces dernières années des calculs de probabilités appliqués au bridge mais sont site à disparu!!), le document complet que j'ai conservé est ICI

Espace de probabilités.

Ce que nous apprend Kolmogorov, c’est qu’avant de parler de probabilités au sens mathématique, il faut définir l’espace dans lequel on se situe.

La probabilité est une mesure et avant de procéder à cette mesure, il faut définir l’objet de notre mesure. La démarche axiomatique commence donc par la définition d’un espace de probabilités doté de certaines propriétés. Il nous faut :

A un ensemble ? d’évènements élémentaires

B des classes d’évènements A qui sont des sous ensemble de ?

C un procédé de mesure de la probabilité P(A), associée à tout sous ensemble A de ?.

Cette mesure P(A) est comprise entre 0 et 1 et elle doit vérifier certaines propriétés qui ne sont en fait que la traduction en langage mathématique du concept intuitif de probabilité.

De plus les classes doivent former ce qu’on appelle « une Tribu » en mathématiques mais nous ne nous étendrons pas sur ce fait qui n’a aucune importance dans le cadre de cet exposé.

Donc, en matière de bridge nous aurions du choisir notre référentiel. Les faits qui nous intéressent sont : la répartition des couleurs, la situation de certaines cartes, la force d’honneurs, … Nous avons conscience que selon les hypothèses auxquelles nous nous intéressons, les faits qui les caractérisent sont plus ou moins rares et que donc, il est légitime d’attacher une probabilité à ces hypothèses. Pourquoi, par exemple une distribution 9211 sera t–elle plus rare qu’une distribution 4432 ?

Parce que le procédé qui consiste à mélanger les 52 cartes, et à les distribuer une par une, produit plus rarement un 9211 qu’un 4432.

Tout simplement.

Comment quantifier la rareté du 9211 ?

En comptant toutes les mains possibles que peut produire la distribution des 52 cartes et en évaluant parmi elles la proportion des 9211.

Cette proportion est la probabilité pour que la distribution aléatoire nous octroie un 9211.

Quelle que soit l’hypothèse formulée, pour évaluer sa probabilité, on pourra comme dans cet exemple, se tourner vers la distribution aléatoire des cartes et faire le ratio des cas favorables à l’hypothèse et des cas possibles.

 

Voilà un bon début pour construire un système de probabilités.

? Ceci étant admis, nous allons considérer que l’ensemble des mains possibles issues de la distribution aléatoire est l’ensemble ? d’évènement élémentaires qui fonde notre système de probabilités.

? Les sous – ensembles A qui forment les classes sur lesquelles on veut évaluer la probabilité coïncident avec l’ensemble des parties de ? . Toute partie de ? même si elle contient une main unique peut être dotée d’une probabilité cohérente.

? Dans ? , les mains vérifiant une hypothèse H forment un sous ensemble A (qui peut être ? lui-même ou l’ensemble vide). Le rapport du nombre de mains de A au nombre de mains de ? est un nombre compris entre 0 et 1 vérifiant toutes les propriétés qui permettent de le qualifier en tant que probabilité (nous ne le démontrerons pas ici).

On dit que ce nombre est « la probabilité de A (ou de H) dans ? ».

 

Ceci étant posé,

Quelle est l’influence du stade auquel on évalue la probabilité sur la probabilité?

On distingue les stades suivants :

? le stade où les cartes ont été distribuées mais où aucun joueur n’en a pris connaissance (Quelle est la probabilité que l’une des mains comporte 7 cartes à pique ?) C’est le stade E0.

? le stade des enchères où chaque joueur a pris connaissance de son jeu et spécule sur les probabilités en fonction de son propre jeu (Quelle est la probabilité pour que je sois fitté dans telle couleur ? Quelle est la probabilité pour que mon partenaire ait plus de 10H ?).

C’est le stade E1.

? le stade où chaque joueur prend connaissance du mort. Chaque joueur spécule en fonction de ses propres cartes et de celles du mort. (Quelle est la probabilité du partage 32 des trèfles ? Quelle est la probabilité de telle ligne de jeu ?) C’est le stade E2.

? le stade où les joueurs ont commencé le jeu de la carte. Chaque joueur spécule en fonction des cartes situées (localisées de façon certaine) chez les autres et de ses propres cartes. (sachant qu’il reste 3 piques dans la main d’ouest et aucun pique dans la main d’Est, la D? est plus probable en Est). C’est le stade E3. Au regard de notre définition de la probabilité nous devons faire une constatation dont l’évidence ne peut être contestée: Evoluer d’un stade à un autre ne signifie pas qu’on conserve la définition de l’ensemble ? qui était en vigueur au stade précédent et qu’on s’intéresse à la probabilité d’un sous ensemble de ?.

Evoluer d’un stade à une autre revient à réduire ?.

Par exemple, au stade E0, vous pouvez imaginer des mains possibles chez chaque joueur qui contiennent le 2?, mais, au stade E1, quand vous prenez connaissance de votre jeu :

- Soit le 2? est chez vous et toutes les mains possibles qui pouvaient le situer chez un autre joueur ont disparu de ?.

- Soit le 2? n’est pas chez vous et toutes les mains possibles qui le situaient chez vous ont disparu de ?.

Si le nombre de mains possibles a diminué dans ?, c’est bien qu’il a été réduit.

 

Que les probabilités soient affectées par ce processus est un fait évident :

Par exemple, si Sud s’intéresse à la probabilité pour que le 2? soit en Ouest.

Au stade E0, il constitue le sous ensemble A des mains qui, dans ?, attribuent le 2? à Ouest, il les compte, il en divise le nombre par le nombre de mains de ? attribuées à Ouest et il trouve que cette probabilité est 1/4.

Au stade E1, si le 2? est chez lui la probabilité pour que le 2? soit en Ouest est devenue 0 , si le 2? n’est pas chez lui, cette probabilité est devenue 1/3 .

Note MICROPERSO : Ce qui vrai pour le 2? est vrai pour n'importe quelle carte du jeu !!!!!!

Du moment que ? n’est plus le même d’un stade à l’autre, toutes les probabilités sont à priori différentes d’un stade à l’autre et on doit les recalculer.

À la lumière de ces constatations, on peut réexaminer la notion de stade et la définir comme suit :

Au cours du déroulement d’une donne de bridge, on peut appeler « stades » les étapes qui débouchent sur une réduction de l’ensemble ? des mains possibles par rapport à ce qu’il était à l’étape précédente.

Ce qui signifie qu’à y regarder de plus prés, le stade E3 du jeu de la carte n’est pas à proprement parler un stade. La localisation de toute carte ou de tout ensemble de cartes débouche sur une nouvelle définition de l’ensemble des possibles, ce qui fait que

 

Le jeu de la carte est décomposé en une succession de stades. Chaque stade correspond à la fourniture d’une carte qui jusque là était considérée comme inconnue (ou plutôt non localisée) par le joueur qui évalue la probabilité

Ceci dit, en règle générale, tout joueur n’apprécie utilement la probabilité qu’à l’issue de chaque levée, ce qu’il fait qu’il va considérer les stades intermédiaires comme secondaires.

Aux premiers stades d’une donne (E0 à E2) l’information qui nous permet de modifier ? nous parvient de manière brutale, par paquets de 13 cartes. (aucune carte localisée, mes 13 cartes localisées, les 13 cartes du mort localisées) .

Aux stades suivants, la communication de l’information est progressive et dépend de l’ordre dans lequel sont jouées les cartes.

Au début du jeu de la carte, toute carte jouée fait disparaître un grand nombre de mains possibles de ? (des millions). Ce nombre diminue au fur et à mesure que la donne se déroule. Mais le rapport des mains possibles entre un stade et le stade suivant est tel (de l’ordre 2 , 3 ou plus selon la quantité d’information véhiculée par chaque carte) qu’on peut considérer qu’il s’agit d’un véritable changement d’échelle au sein du paysage des possibles. L’importance de ce rapport d’échelle permet d’apprécier l’importance de la fourniture d’une carte, quelle qu’elle soit, dans le processus qui débouche sur la modification des probabilités.

Voir ICI un article personnel sut les calculs élémentaires de probabilité appliquées au bridge et qui sont des conséquences de cette loi de KOLMAGOROV

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