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Nota de Microperso : Cette page est issue du site de René ALBERT, lorsqu'il était accessible sur sa page personnelle "Orange", et je la reprends à mon compte car elle est synthétique pour les bridgeurs !!!!

PROBABILITES

Notations

  • le signe de la multiplication est noté : *
  • la factorielle de x (soit 1*2*3*......*x) est notée en abrégé : x !
  • le nombre de combinaisons de a objets choisis parmi r objets tous différents, soit (r! * (r-a)! / a!) , est noté en abrégé : C[a;r]

Définition de la probabilité

Une probabilité  est définie simplement par le rapport :  nombre de cas favorables / nb total de cas possibles.
Par exemple la probabilité de tirer un trèfle dans un jeu de 52 cartes = 13/52 = 1/4 = 0,25
Cette définition suppose que les cas possibles sont indépendants les uns des autres.
Par définition, une probabilité vaut donc 1 au maximum (on peut aussi l'exprimer en % en multipliant sa valeur par 100).

 

Probabilités composées

Soient p1 et p2 les probabilités  d'apparition d'évènements  E1 et E2, la probabilité d'apparition  de E1  ET E2 est égale au produit de leur  probabilités : p (E1 et E2) = p1*p2
Ex : prenons 2 jeux  de 52 cartes et tirons une carte dans chacun d'eux.
La probabilité de sortir 1 trèfle du premier paquet  ET  1 coeur du deuxième  est égale à  (1/4)*(1/4) = 1/16 = 0,0625

 

Addition de probabilités

Calculons maintenant la probabilité d'obtenir 1 carte à trèfle et 1 carte à coeur à partir du tirage d'une carte dans chacun de nos 2 jeux, sans distinction de provenance.
Cette combinaison peut résulter de 2 tirages distincts : ( trèfle ET coeur)  OU  (coeur ET trèfle).
La probabilité cherchée est  donc égale à la somme des 2 probabilités : p = (1/16) + (1/16) = 0,125
Attention : on ne peut combiner que des probabilités d'évènements indépendants.

 

Probabilités "a posteriori"

Supposons qu'un évènement E2 ne puisse se produire que si un évènement E1 s'est produit préalablement.
Si p1 est la probabilité de E1, et  p2 celle de E2 une fois E1 survenu :
- p2 est la probabilité "a posteriori" de E2
- mais la probabilité "a priori" P2 de E2 est : P2 =  p1* p2

 

Théorème de Bayes

Supposons maintenant qu'un évènement E  puisse résulter de plusieurs causes C1, C2, ...Cn, de probabilités initiales p1, p2, ..., pn.
Soient  w1, w2, ..., wn  les probabilités respectives qu'ont C1, C2 ..., Cn respectivement  de produire E.
Une fois que E s'est produit, la probabilité "a posteriori" que sa cause soit Cx est donnée par le quotient :
Px = (px * wx) / [(p1*w1) + (p2*w2) + ... +  (px*wx)  + ... + ( pn*wn)]

 

Applications

 

Types de distribution

Vous vous étonnez parfois des distributions rencontrées dans certains simultanés en donnes aléatoires : rassurez-vous, il n'y a pas malice, et les distributions excentrées sont statistiquement plus fréquentes que l'on croit.
 

Cliquez ici pour consulter le tableau donnant les probabilités "a priori" d'apparition de telle distribution dans une main désignée.

 

Répartition des résidus entre 2 mains cachées

Mon camp (soit 26 cartes connues) totalisant   x cartes dans une couleur, le résidu de cette couleur dans le camp adverse (r = 13 - x) sera réparti  à raison de a cartes dans une main adverse et b cartes dans l'autre main, avec a + b = r
On se propose de calculer la probabilité "a priori" p[a;b] d'avoir une répartition [a;b].
Nb de distributions adverses possibles :
N = C[13;26]
Nb de distributions adverses possibles avec a cartes dans une main déterminée :
n = C[(13-a) ; (26-r)]  * C[a,r]
Et donc : p(a,b) = n/N

Cliquez ici pour consulter le tableau des probabilités de répartition  des résidus entre  deux mains cachées.

 

Répartition "a priori" des cartes en face d'un unicolore ou d'un bicolore

Cliquez ici pour consulter les tableaux des probabilité de fit correspondantes

 

Maniements de couleurs à  9 cartes

Impasse ou non ?
On supposera dans ces exemples qu'il n'y a pas de problème de communication ou d'adversaire dangereux.

  • il manque un honneur :
                         x (?)
    A V x x x                 R x x x

                        x x (?)


    On tire le Roi, les adversaires fournissent chacun une petite carte.
    Puis on part  petit vers As-Valet, et Sud fournit encore petit.
    Ceci ne peut provenir que de 2 causes :
    • D x  en Nord   (3 permutations,  puisqu'il y a 3 petites cartes possibles),
    • x " sec"  en Nord  (3 permutations  idem).

    L'utilisation du tableau des résidus et du théorème de Bayes donne pour la probabilité de capture du valet :
    • jeu en-tête :       (6,782*3)  / [ (6,782*3) + (6,217*3)]  = 52,17 %    (léger avantage)
    • impasse (passer le Valet) :      (6,217*3)/  [(6,782*3) + (6,217*3)] = 47,83 %
    On peut vérifier que cette conclusion est générale quel que soit le résidu.
     
  • il manque 2 honneurs équivalents :
                             (D ou V)
        A 10 x x x                     R 9 x x
                                  x

    On joue le Roi, Sud fournit petit, et un des 2 honneurs "équivalents" (D ou V) apparait en Nord.
    On repart petit vers As-10, et Sud fournit encore petit.
    Ceci ne peut provenir que de 3 causes: Dame sèche, ou Valet  sec,  ou  DV secs en Nord (une seule permutation chaque fois).
    L'utilisation du tableau des résidus et du théorème de Bayes donne pour la probabilité de capture de l'honneur restant  :
    • jeu en-tête :                                     6,782 / [(2*6,217) + 6,782] =  35, 30 %
    • impasse (passer le 10) :       (2*6,217) / [(2*6,217) + 6,782] = 64, 70 %   (net avantage)
                                                  
  • Il manque 1 honneur :
                               ?
         A D V x x             x x x x 
                               x

    On joue petit vers As-Dame, et Sud fournit petit.
    Les cas   x  et  x x    en Sud  produisent cela, mais sont sans intérêt car le Roi est alors imprenable.
    La comparaison entre jeu en tête et impasse ne concerne donc  que les cas  x  x  x   (une seule permutation),  x  (3 permutations)  et  R  x  x  (3 permutations) en Sud.
    L'utilisation du tableau des résidus et du théorème de Bayes donne pour la probabilité de capture de l'honneur restant :
    • jeu  en-tête :                  6,217 / [ 6,217 + (3*(6,782 + 6,217))]  = 13, 75 %
    • impasse :       3*(6,782 + 6,217) / [6,217 + (3*(6,782 +6,217))] = 86, 25 % (avantage incontestable)

    Nota : ce résultat " a posteriori" ne doit pas être confondu  avec la probabilité "a priori"que le Roi soit en Sud  (50%).

 

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Tout ceci n'est qu'un aperçu de ce que l'on peut tirer du calcul des probabilités appliqué au bridge, et mon espoir sera de vous avoir donné l'envie de vous lancer à votre tour dans d'autres analyses ....

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